Ответ на волейбольную задачу - "Вероятность выигрыша", предложенную в нашей группе 1 марта (https://vk.com/wall-74994104_59874).
Играют команды "Футбол" и "Волейбол". Идет тай-брейк, счет 13:13, подача команды "Волейбол".
Известно, что вероятность выигрыша очка на своей подаче у каждой команды равна и составляет 25%.
Вопрос: какова вероятность выигрыша матча каждой из команд?
Правильный ответ: "Футбол" - 60%, "Волейбол" - 40%. Первой правильный ответ дала либеро "Сахалина" Тамара Зайцева. При опросе правильный ответ дали 10 из 96 ответивших (~10,4%).
Решение.
Для решения задачи требуются знание базовых понятий теории вероятностей. Сейчас их учат в школе (~9 класс):
1. Вероятность любого события выражается числом от 0 до 1 (или от 0 до 100%, но в проценты мы все переведем в конце).
2. Если вероятность события равна P, то вероятность противоположного события равна 1-P.
3. Вероятность возникновения двух и более событий совместно равна произведению их вероятностей (P1*P2*...).
4. Если событие можно разделить на составляющие, то его вероятность равна сумме вероятностей составляющих (P1+P2+...).
Кроме того, обратим внимание на такой факт: в условиях задачи вероятность победы подающей команды при счете 13:13 равна вероятности победы подающей команды при счете 14:14, 15:15 и т.д.
А теперь решаем. Пусть P - вероятность выигрыша очка на своей подаче (у нас она равна 0,25), X - вероятность выигрыша игры подающей командой (ее нужно найти).
1. Определяем случаи, когда подающая команда выигрывает (разбиваем на составляющие):
a) при выигрыше двух очков подряд - счет будет 15:13; вероятность этого P*P
b) при выигрыше 1-го очка, затем проигрыше 2-го (счет стал 14:14), затем выигрыша игры принимающей (подача перешла к сопернику) командой; вероятность этого P*(1-P)*(1-X)
c) при проигрыше 1-го очка, затем выигрыше 2-го (счет стал 14:14), затем выигрыша игры подающей (очки по очереди выиграли принимающие, и подача вернулась) командой; вероятность этого (1-P)*(1-P)*X
2. Составляем нехитрое уравнение с суммой составляющих:
X = P*P + P*(1-P)*(1-X) + (1-P)*(1-P)*X
3. Раскрываем скобки, сокращаем (этот процесс опустим, он несложный), получаем X = 1/(3-2*P)
4. Подставляем значение P=0,25, получаем X = 1/(3-2*0,25) = 0,4, переводим в проценты: X = 40%
Ответ: Вероятность выигрыша команды "Волейбол" - 40%, команды "Футбол" - 60%.
